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本文转载自《城市建筑》2015年第7期

作者：李鸿渐 李飚

悬链线原型最早由罗伯特 · 胡克（Robert Hooke）在1675年提出，是将一条柔软且重量均匀的绳索两端固定后自然下垂得到的曲线。其方程是一个双余弦函数，是区别于椭圆和抛物线的曲线形式（图1）。

图1 悬链线原理

由于绳索中的点只受到重力和沿绳的轴向拉力，在相同的外部条件下，将得到的形态反转后则会形成纯轴向受压的结构体。对于砖石等受压性能优于抗拉性能的材料而言，这种结构体可以使材料的力学性能得到充分发挥。将该原理扩展应用到三维形态，四边固定的柔软布料受重力自然下垂，得到的形态同样具有一定的结构合理性。悬链线原理通常应用于桥梁及穹顶的设计。

悬链线模型因西班牙建筑师高迪而广为人知。他通过悬挂的绳索和沙袋，模拟出具有一定结构理性的非传统形式，最终形成了复杂的不规则形态（图2）。

图2 高迪建筑设计与悬链线模型

然而在当代的建筑设计及建造中，这种仅凭建筑师个人经验判断实现的结构显然不够严谨。而通过几何精确计算得到的悬链线曲线涉及大量的结构力学计算，形式往往也受到了结构算法的限制，因而目前悬链线模型基本仅应用于桥梁的专业设计中。由于其自承重结构具有一定的合理性，能实现较大跨度且建筑表现力强，悬链线模型在建筑领域具有很大的应用潜力。

悬链线的程序模拟

通过计算机编程算法对悬链线模型进行模拟，可以探索其在建筑领域的更多应用。对于传统的计算机辅助设计的工作方法而言，建筑形态通常受限于建筑师既有的经验和认知，而缺乏建筑自身结构的合理性以及生成逻辑的统一性。运用生成设计的方法，从原理出发编写程序，使计算机作为部分设计主体参与到设计过程中，通过其强大的存储及运算能力，对大量数据进行比对选择并做出调整，则能优化出更为合理的设计方案。

该模拟借助Java程序语言编写，优点在于Java语言有许多不断丰富的工具包，可以方便地将其按一定逻辑组织到个性化的建筑生成工具中，便于建筑师忽略掉繁琐的细节而把控整体。

从“数字链”方法出发，悬链线的形态模拟程序输入端通常表现为具有一定逻辑的点阵，并由此扩展为虚拟的立体网络。经过内部张力及重力的程序模拟，最终输出合理受力状态下的空间造型。在整个过程中，程序演化表现为动态连续过程，建筑师在调整每一步的相关参数时，都可以在最终的成果中得到实时的反馈。

关键点阵

根据场地条件及功能流线确定平面的大小范围，并在此范围内初始化基准的点阵，作为最终塑形的控制点。通过定义各点间的相互作用力，模拟绳或网的轴向内力。点的数量多少决定了网格的细分等级，最终决定相应输出形体的基本单元。

点阵的生成方法可以由建筑师选择，最终呈现为悬拱的表面肌理。它们既可以是简单的三角网格，也可以通过程序生成均匀的不规则点阵。如采用泰森多边形（voronoi）生成平面（图3），形成多边形组成的网格结构。多边形的顶点即可作为点阵输入到后续的悬链线力学模拟程序中。

图3 voronoi平面示意图

力学模拟

按照一定逻辑生成输入的点阵后，利用程序语言进行力学模拟。其原理可根据牛顿第二定律（F=M×A）以及加速度、速度的物理定义（A=V/T，V=S/T），将力的作用转化为点向量坐标的变化从而实现动态模拟。当悬网中的点同时受到若干作用力时，这些力会叠加为等效的合力，使该点移动方向受合力影响。

首先，通过程序定义点与点之间的相互作用力，即“网”的内部张力（图4）。点阵中的点的信息以向量坐标的形式记录，通过相邻点的空间关系，确保悬网中各点只与其相邻点发生力的作用，该过程往往能沿用上一步平面生成点阵的逻辑。根据胡克定律定义点之间的作用力强度，并建立作用力与点的位移关系。

图4　互作用力示意

其次，定义悬网中固定的点，即作为生成的悬链拱与地面的接触部分，承受地面的支撑力。固定点的位置及数量由建筑师根据具体的建造场地，以及相应空间的具体功能要求（如出入口、采光等）进行控制，并根据最终呈现的空间形态做出相应的分析与调整。

悬网中的点受到相互作用的拉力之后往往在动态过程中逐步趋于平衡，并在一定时间内形成静态的稳定结构。此时需要借助点之间的摩擦力以模拟能量损耗，促进稳定悬链结构的快速形成。摩擦力可以被简单地理解为绳的弹性或软硬程度，既可以在悬网中均匀设置，也可以根据设计意图实现对最终形态的干扰和控制。

最后，对完成设定的悬网施加重力作用，使悬网上的点沿重力方向产生一定的位移，而预先设定的接地点则固定不动。最终悬网上的点受到相互作用的拉力、摩擦力、重力而在动态中逐步趋于平衡。通过修改重力加速度的大小可以对最终形成的悬链拱的高度做出调整。风力、侧向支撑力等其他外力也可以通过类似的方法进行叠加，最终形成多力作用下合理的结构形式（图5）。

图5 固定点与重力模拟

程序优化

对于生成的悬链拱，在进行相应的加工建造前，还需根据空间的使用功能、材料的尺寸、结构合理性等因素，对程序做出相应的优化调整。在悬拱生成过程中，由于接近固定点的控制点所受到的拉力较大，对于摩擦力均匀的网格来说，最终生成的悬拱将呈现底部稀疏、顶部密集的形态，这一点和减轻顶部重量加强底部强度的受力策略相悖。因而在平面网格生成的时候需要对接地点附近的点进行预处理，使得这些点之间的作用力相对更大，或在预先生成的网格中使接近固定点的网格更小，从而使结构更符合材料的逻辑。

由于受到建造材料最大尺寸及加工工艺的限制，需要对悬链网格的最大值加以控制。当生成网格的相邻两点间距离最大值大于设定的限值时，程序将对平面生成阶段的网格进行调整，不断重新生成，并对生成的结果进行判断和优化，直到最终生成的结果符合预先设定的要求。同样，对于形状异常以及其他不符合设计意图的局部，也可以通过设计师设定相应的程序规则，进行筛选和优化。这一阶段需要建筑师对于实际材料和建造具有一定的经验和认知，以便于发现加工建造过程中可能存在的问题，进而提出相应的优化措施。此时“数字链”的优势得到充分地发挥，各阶段的修改，建筑师都能即时地得到最终形态的直观反馈，从而从繁琐的重复性工作中解脱出来，对于整体形态进行全局的把控。

基于悬拱的数控建造

将生成的悬链线模型用于实际建造时，除了根据材料尺寸及加工幅面对网格单元进行优化和控制外，还需要充分考虑到材料的力学性能，通过制作实体模型进行相应的受力测试。

由于材料选择以及相应的加工方式的多种多样，基于悬链线模型可产生一系列各异的结构单元。通过特定材料的单元构件，以及连接节点的构造研究，在生成的悬链线模型基础上进行补充和叠加，生成由面和体构成且具有一定构造逻辑的模型。最终确定的形态将通过程序处理，根据所选材料的加工方式确定输出数据形式，以便其后的加工和建造（如三维打印、机器人加工、激光切割等多种选择）。

利用三维打印技术可以最为便捷地将悬链线模拟模型输出为实体模型。输入数据为“数字链”系统导出的实体三维模型，并通过相关应用程序转化为三维打印所需的加工文件。受限于三维打印设备的加工幅面、加工成本及速度，三维打印技术目前大多用于小比例的模型制作，在大尺度的加工建造方面还有待发展。但由于其加工便捷，所以通常可用于输出方案设计前期的系列模型，并作为直观研究形体与场地关系的有效工具（图6）。利用机械臂则可以灵活地选择多种加工方式。结合材料及加工工艺，选择特定的加工工具与机械臂组合。输出数据可根据三维模型确定加工工具的路径代码，通过控制机械臂以及工具的位置变化实现对材料的加工。比如东南大学建筑学院2013年的“Tri_V”（Triangulated Vault）项目，研究成员制作了专用于切割泡沫材料的热熔锯与机械臂相结合，从而加工出特定的构件单元，通过单元之间的构造连接，人工搭建成悬链拱的整体形态（图7）。

图6 打印悬拱模型

图7 机械臂加工悬拱结构

利用激光切割技术可以对板材进行平面加工。需在程序中将生成的单元构件展开在二维平面上，输出加工过程所需的机器代码。如东南大学建筑学院2015年的“Tree-Angle”项目，基于生成的悬链线模型的点坐标信息，生成具有一定体积的结构单元，进而通过节点的构造设计实现单元间的拉力连接以满足材料的力学性能要求，借助程序逻辑分析将单元构件展开在同一平面上，由激光切割机切割钢板进行加工，经过对材料的反复试验，在确定适宜弯折的同时又能保证连接强度的折弯缝隙，并对转折处做虚线处理，再进行弯折组装与单元之间的固定连接，最终形成基于悬链线原型的自承重结构（图8）。

图8 单元平面展开的激光切割

技术总结与展望

悬链线模型在桥梁等大跨度结构设计中广为应用，然而其精确的结构计算需要其他结构相关专业的技术支持。本文提到的程序模拟的方法，只是通过对要素的抽象而建立的近似模型，在实际应用过程中往往会受到包括材料性能、构造方式在内的诸多因素的影响，因而目前实际建造的项目大多处于小尺度的试验阶段，其真正推广还有待相关专业进行更精确的结构计算与程序优化。计算机生成设计作为有力的设计工具，其发展还有待其他相关专业更进一步的参与。